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Come funziona il trucco del calcolatore log del povero?

Bentornati ad un'altra stupefacente edizione delle domande di Internet

61 utenti della rete hanno chiesto:

Quindi … Questo è interessante. Durante i miei giorni di liceo, la maggior parte di noi qui in India non poteva 'permettersi un calcolatrice decente. Avevamo tutti uno di quelli a buon mercato che possono fare BODMAS di base e, in aggiunta, radici quadrate. Anche i libri di giornale erano rari e usavano esaurirsi abbastanza velocemente.

Esiste questo trucco geniale che funzionava perfettamente per trovare il registro di qualsiasi numero fino a 3 cifre su questo normale calcolatore:

  1. Digitare il numero.
  2. Ricorsivamente prende la sua radice quadrata 19 volte.
  3. Sottrai uno.
  4. Moltiplica il risultato per 227697.

E miracolosamente, ha dato il log₁₀ (x) accurato fino a 4/5 decimali. A volte anche di più. Come funziona?

Ed ecco le risposte:

Spesso puoi costruire approssimazioni accurate di alcune funzioni usando funzioni meno complicate. Questi saranno abbastanza precisi ma non uguali.

Se dovessi tracciare la tua approssimazione (che è (x ^ (0,5 ^ ) – 1) 227697 accanto al registro 10 (x), scoprirai che è un'approssimazione abbastanza buona per input pari di 9 cifre.

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Domanda: perché è così simile? Di cosa si tratta in questi quattro passaggi ci fornisce un'approssimazione così ravvicinata?