Se la matematica è un argomento così preciso con risposte solide, come ci sono problemi di matematica ancora irrisolti? Come fanno le persone a inventarli?

Un modello che noterai con molti esempi dato in questo thread: spesso il problema è con infinito . Se chiedi ad esempio, la sequenza di Fibonacci contiene numeri quadrati oltre a 144 (X12) ? Posso scrivere i primi due numeri nella sequenza, o fare in modo che un computer generi il primo miliardo – e ognuno è banale da controllare se è un quadrato – ma è fondamentalmente impossibile controllarli TUTTI, perché la sequenza è infinita.

L'unico modo per risolvere una cosa del genere è inventare un argomento matematico – una prova – che impiega una logica intelligente per dimostrare qualcosa su un insieme infinito. Come esempio molto semplice, si consideri la domanda “ci sono numeri primi pari oltre a 2?”. Possiamo rispondere dicendo, supponiamo che ci fosse un tale numero. Quindi, poiché è pari, può essere diviso per due e poiché può essere diviso per 2, non può essere un numero primo! Quindi abbiamo dimostrato qualcosa su TUTTI i numeri, anche se non abbiamo mai dovuto controllarli individualmente. Un problema leggermente più difficile in questo senso, esiste un numero primo più grande?

Problemi come questo sorgono ogni volta che i matematici stanno solo giocando – esplorando schemi, fare domande, trovare argomenti chiari che poi portano ad altre domande naturali. Alcuni dei più famosi problemi irrisolti sono famosi perché, se conoscessimo la risposta, sbloccherebbero la verità su molte altre domande correlate. (Un esempio è il problema “P vs NP” in informatica)

C'è una grande differenza tra la risoluzione di un'equazione matematica e la risoluzione di un problema di matematica generalizzata

Se hai 2 + X=7 tu può risolvere per X questa volta e sapere che proprio qui, in questo momento, deve essere 5

Ma i problemi irrisolti sono decisamente più difficili di quello. L'ultimo teorema di Fermat è rimasto irrisolto per alcune centinaia di anni: “Per ogni intero n> 2, l'equazione a ^ n + b ^ n=c ^ n non ha soluzioni intere”

Probabilmente hai già familiarità con il caso di n=2, che è a ^ 2 + b ^ 2=c ^ 2 o il Teorema di Pitagora. Ma come si dimostra che per n> 2 non ci sono soluzioni intere? Potresti provare a forzarlo bruto, ma cosa succede se funziona quando n=51, 144? Dovresti provare letteralmente ogni combinazione di numeri che è, per definizione, infinita

I suoi problemi come questi che non puoi basta impostare un computer e schiacciare i numeri, devi ricorrere alle proprietà di base della matematica e di altri postulati e teoremi per dimostrare che non c'è modo che n> 2 risulti in a, b, e c siano tutti numeri interi . Questi sono quelli difficili che richiedono persone e centinaia di fogli di carta per essere dimostrati.

Il mio problema irrisolto preferito, perché è così facile da capire, è la congettura di Collatz. Abbiamo un gioco che funziona così:

1. Scegli un numero e controlla se è pari o dispari.

2. a) Se è pari, dividere per 2

3. b) Se è dispari, moltiplicare per 3 e aggiungere 1

4. Prendi il tuo nuovo numero e vai al passaggio 1.

Ad esempio, se inizi con 10:

10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> 1 …

A partire da 10, finisci per andare a 1 e poi rimanere bloccato in una scommessa loop ween 4, 2 e 1. Se inizi con 9, ci vogliono 20 passi (e arriva fino a 52 a un certo punto), ma va anche a 1. La congettura è:

Ogni numero intero positivo alla fine raggiunge 1 quando si utilizza questo modello.

A confutare questo, tutto quello che devi fare è trovare un numero di partenza che rimanga bloccato in un ciclo diverso. Ci abbiamo provato, però – abbiamo provato tutti i numeri fino a 20 cifre lunghe e hanno tutte ha colpito il ciclo 4,2,1. Per dimostrare questo è vero , tuttavia, dovrai trovare alcune informazioni creative sul modo in cui i numeri si relazionano tra loro.

Ecco un concetto divertente per te. I teoremi di incompletezza di Gödel dimostrano fondamentalmente che ci sono cose matematicamente vere che non possono mai essere dimostrate essere vere.

Che concetto! Sappiamo che ci sono cose in cui non solo non esistono prove, ma non possono esistere prove, nonostante siano vere. Detto questo, ci saranno sempre cose che non potremo mai dimostrare essere vere o false.

I problemi di matematica irrisolti non sono solo equazioni difficili che puoi risolvere con l'algebra. Sono domande che richiedono creatività per essere risolte. Un noto problema irrisolto è la congettura di Goldbach: dimostrare che ogni numero intero pari su due è la somma di due numeri primi. Le persone ci hanno lavorato per 250 anni.