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Scienza

Se fosse praticato un foro attraverso il centro della Terra, quale sarebbe il profilo della pressione atmosferica?

Bentornati ad un'altra super edizione delle domande di cultura generale!
Questa volta abbiamo cercato una curiosità scientifica:

Sentiamo spesso che il barometro misura davvero il peso della colonna d'aria sopra di noi. Questo spiega le variazioni di altitudine entro un intervallo ragionevole sopra la superficie, ma all'interno la gravità diminuisce e alla fine va a zero. C'è un punto in cui la pressione smette di aumentare o continua fino in fondo?

Ed ecco le risposte degli esperti:

Continuerà ad aumentare. Se scavassi una buca al centro, la gravità che agisce sull'aria in fondo alla buca sarebbe vicina allo zero, ma l'aria più in alto continuerebbe a premere su di te. La pressione crescerebbe sempre più lentamente, ma continuerebbe a crescere.

Può aiutare a immagina un pianeta fatto interamente di aria. La sfera è tenuta insieme dalla gravità, in un certo senso, tutta l'aria sta “cercando” di andare al centro, ma tutta non può arrivarci, perché è già troppo “affollata” laggiù (cioè alta densità e alta pressione ). Se dovessi avventurarti nel mezzo di questa sfera, ti sentiresti schiacciato da tutte le direzioni mentre tutta l'aria viene tirata verso di te.

Ottenere il profilo di pressione numerico effettivo richiederebbe un giusta dose di impegno e di ipotesi perché dipende non solo dal profilo gravitazionale, ma ovviamente anche dall'aria stessa. La pressione idrostatica è data dalla densità per l'accelerazione gravitazionale per l'altezza della colonna (se g è costante con l'altezza, altrimenti dobbiamo usare la forma differenziale). Il profilo di gravità con profondità ovviamente non è noto con certezza, ma può essere stimato con ragionevole precisione utilizzando modelli esistenti
. Qualcosa che potresti trovare interessante dato il tuo interesse per la domanda in oggetto è che l'accelerazione gravitazionale non diminuisce semplicemente linearmente con la profondità come suggerirebbe il teorema del guscio per una sfera di densità uniforme. Invece, è costante o aumenta con la profondità fino a poco più della metà del raggio terrestre a causa della crescente densità della Terra con l'aumentare della profondità. Quindi abbiamo g in funzione dell'altezza e possiamo usarlo per calcolare la pressione idrostatica, ma per quanto riguarda la densità? L'aria cambia di densità come cambia di pressione, quindi la pressione dipende dalla densità e la densità dipende dalla pressione. Complicando ulteriormente il calcolo è che la temperatura dell'aria aumenterà sicuramente in modo sostanziale con l'aumentare della profondità, con i suoi impatti su pressione e densità, e che quasi certamente l'aria non sarà più ragionevolmente considerata un gas ideale per la maggior parte della profondità della Terra. E quando si parla di un buco al centro della Terra quando è stato fatto il buco? Ci sarà una convezione molto significativa guidata dal gradiente geotermico per molto tempo dopo che un tale foro appare misteriosamente.

Fortunatamente, non abbiamo bisogno di un profilo di pressione esplicito per rispondere alla tua domanda. All'equilibrio statico (assumendo per il momento che l'equilibrio statico sia raggiunto nel momento in cui ci interessa il profilo di pressione), la colonna d'aria che termina al centro della Terra ha un valore di accelerazione gravitazionale positivo fino al centro stesso, quindi ha sempre un peso positivo e quindi contribuisce sempre ad aumentare la pressione nell'aria sottostante. Di conseguenza, possiamo concludere che il profilo di pressione avrà una pressione crescente con la profondità fino al centro della Terra.

La relazione barometrica è dP/dz=-ρGz, dove P è la pressione, z è la distanza verticale (misurata dal centro della Terra, diciamo), ρ=ρ(z) è la densità dell'aria dipendente dall'altezza e G=G(z) è l'accelerazione gravitazionale dipendente dall'altezza. Quindi abbiamo “solo” bisogno di integrare dP=-ρ(z)G(z)z dz.

Il modello più semplice per G(z) è un aumento lineare all'aumentare di z: G(z)=gz/r, dove g è la gravità sulla superficie e r è il raggio della Terra.

Il modello più semplice per ρ(z) è la legge dei gas ideali, ρ(z)=P/RT(z), dove R è la costante del gas specifica per l'aria e T(z ) è la temperatura dipendente dalla profondità.

Collega la tua funzione preferita per T(z), o semplificare sostanzialmente il problema (con la corrispondente perdita di precisione prevista) prendendo una media effettiva come K.

Quindi, abbiamo dP/P=-gz^(2)/ rRT(z) dz. Integrare analiticamente o numericamente. Se si assume la T costante, si ha

ln P_0/P=-g( rz)^(3)/3rRT, dove P_0 è la pressione atmosferica.

Questo dà P=P_0 esp =P_0 exp[gr^(2)/3RT] al centro della Terra, che è…molto grande, al punto che l'ipotesi della legge dei gas ideali fallisce perché l'aria si è condensata. Mi fermo qui per ora, ma questo ti dà un'idea di come sarebbero i calcoli. Per favore fatemi sapere se vedete degli errori.

Chemiomeccanica

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